결정 격자와 단위 셀

개요

결정 격자(crystal lattice)와 단위 셀(unit cell)은 반도체의 원자 구조를 기술하는 가장 기본적이면서도 강력한 개념입니다. 반도체 기술에서는 나노미터 수준의 정확한 격자 상수 제어가 요구되므로, 격자와 단위 셀의 개념은 실질적인 공정 설계의 핵심입니다.

1. 브라베 격자 (Bravais Lattice)의 개념

1.1 정의

Bravais 격자는 1850년 프랑스 물리학자 오귀스트 브라베가 정의한 개념으로, 3차원 공간에서 다음 식으로 표현되는 무한 점 배열입니다:

\mathbf{R} = n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3

여기서:

R: 격자점의 위치 벡터
n₁, n₂, n₃: 임의의 정수 (..−2, −1, 0, 1, 2, ..)
a₁, a₂, a₃: 기본 병진 벡터(primitive translation vectors)

1.2 핵심 특징

결정학적 동등성 (Crystallographic Equivalence): 모든 격자점에서 결정 구조가 동일하게 보입니다. 즉, 어떤 격자점에서든 관찰자가 주변을 보면, 모든 다른 격자점들도 정확히 같은 배열을 보입니다.

1.3 기본 병진 벡터와 격자 상수

기본 벡터의 선택:

기본 벡터는 유일하지 않음
3개의 선형독립 벡터이어야 함
같은 격자 구조를 생성

격자 상수(Lattice Constants): 기본 벡터의 크기를 일반적으로 a, b, c로 표기합니다.

단위:

Ångström (Å) = 10⁻¹⁰ m
nanometer (nm) = 10⁻⁹ m

반도체 예시:

Si (실리콘): a = 5.4310 Å (300 K)
GaAs (갈륨 비화물): a = 5.6533 Å (300 K)
Ge (게르마늄): a = 5.6579 Å (300 K)

2. 3차원 14가지 브라베 격자

2.1 7가지 결정계 (Crystal Systems)

3차원에서 정확히 14가지의 기하학적으로 구별되는 Bravais 격자만 존재합니다.

7가지 결정계:

결정계	축 길이	축 각도	대칭 요소	격자 수
입방(Cubic)	a=b=c	90°, 90°, 90°	4-fold axis	3
육방(Hexagonal)	a=b≠c	90°, 90°, 120°	6-fold axis	1
삼각(Rhombohedral)	a=b=c	α=β=γ≠90°	3-fold axis	1
정방(Tetragonal)	a=b≠c	90°, 90°, 90°	4-fold axis	2
사방(Orthorhombic)	a≠b≠c	90°, 90°, 90°	2-fold axes	4
단사(Monoclinic)	a≠b≠c	90°, β≠90°, 90°	One 2-fold	2
삼사(Triclinic)	a≠b≠c	α≠β≠γ	None	1

합계: 14 Bravais 격자

2.2 격자 심사 유형 (Lattice Centering)

5가지 심사 유형:

P (Primitive): 격자점이 정육면체 코너에만 위치 (원시적)
I (Body-centered, Innenzentriert): 코너 + 몸체 중심
F (Face-centered): 코너 + 모든 면의 중심
S/C (Side or Base-centered): 코너 + 한 쌍 대면의 중심
R (Rhombohedral): 마름모 격자 특정 배치

2.3 반도체에서 중요한 입방정계 격자

입방정계(Cubic) - 3가지:

격자	약어	단위 셀당 원자	배위수	충전 효율
단순 입방	cP (SC)	1	6	52%
체심 입방	cI (BCC)	2	8	68%
면심 입방	cF (FCC)	4	12	74%

3. 단위 셀 (Unit Cell)의 개념과 종류

3.1 단위 셀의 정의

단위 셀은 격자의 기본 반복 구성 요소입니다:

병진 벡터로 정의되는 평행육면체(parallelepiped)
격자 공간을 겹침 없이(no overlap) 빈틈없이(no gap) 채움
반복만으로 전체 결정 구조를 재구성 가능

3.2 기본(Primitive) 단위 셀 vs 종래(Conventional) 단위 셀

기본 단위 셀 (Primitive Cell):

정확히 1개의 격자점을 포함하는 가장 작은 단위 셀
부피 = 최소 (V_primitive)
격자점 계산: 8개 코너 × (1/8) = 1개

종래 단위 셀 (Conventional Cell):

1개 이상의 격자점을 포함
격자의 전체 대칭성을 명확히 표현
결정 구조의 특징을 직관적으로 이해 용이

비교:

특성	기본 셀	종래 셀
격자점 수	1개	1개 이상
부피	최소	기본 셀의 정수배
대칭성 표현	불명확	명확
사용	이론적 계산	대부분의 문헌

격자별 비교:

SC: 기본 셀 = 종래 셀 (같음)
BCC: 종래 셀 = 2 × 기본 셀
FCC: 종래 셀 = 4 × 기본 셀

3.3 격자 파라미터 (Lattice Parameters)

단위 셀의 기하학적 특성을 완전히 규정하는 6개의 수치입니다:

3개 축 길이:

a: 첫 번째 축 길이
b: 두 번째 축 길이
c: 세 번째 축 길이

3개 축 사이 각도:

α: b와 c 사이의 각도
β: a와 c 사이의 각도
γ: a와 b 사이의 각도

단위:

길이: Ångström (Å) 또는 nanometer (nm)
각도: 도(degree, °)

입방정계의 단순화:

1개만 필요 (a = b = c, α = β = γ = 90°)

4. 격자 상수의 온도 의존성

온도 의존성 공식:

a(T) = a_0[1 + \alpha(T - T_0)]